Vég elem elemzése: mi a különbség az első és a második rendű elemek között?


Válasz 1:

A Zakaria Wasfi kiválóan leírta azt a megközelítést, amely megkülönbözteti az első rendű másodrendű elemeket.

Az elemek finomabb bonyolultsága bevezetésre kerül, mivel azok magasabb rendűvé válnak.

Nézzünk meg egy háromszöget a valós térben.

A kanonikus alakfüggvény egy lineáris háromszög elem valós koordinátáiban:

P = a + bx + cy (3 paraméter és 3 csomópont)

és

dP / dx = b vagy az x irányú törzs lineárisan változhat y-ban.

dP / dy = c vagy az y irányú törzs lineárisan változhat x-ben.

A bilineáris (második rendű) háromszög valós koordinátáinak kanonikus alakfüggvénye:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 paraméter és 6 csomópont)

és

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

És ismét szimmetrikus viselkedésünk van.

Most nézzük meg a lineáris quad elemet:

P = a + bx + cy + dxy (négy paraméter, négy csomópont)

és

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Vegye figyelembe, hogy aszimmetria van a d / dx és a d / dy törzsmezőkben.

Most nézzük meg a biquadratic serendipity elemet (nyolc csomópont):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (nyolc paraméter, nyolc csomópont)

és a törzsmezőket a következővel lehet meghatározni:

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

és a törzsmezők szintén nem szimmetrikusak.

Tehát a háromszög elemeknek (és az i 3D tetraéderes elemeknek) szimmetrikus deformációs (és ennélfogva feszültség) mezõk vannak, míg a négyszeres serendipity elemek nem.

Miért számít?

Vessünk egy tiszta állandó elmozdulási mezőt (állandó nyújtás). Az összes elem csak állandó feszültséget mutat, és mindegyik ugyanolyan jól viselkedik.

Nézzük a keresztmetszet lineáris feszültségét (ahogyan azt a tiszta hajlításnál mondjuk). a lineáris háromszög állandó feszültség, és így megegyezik a valós feszültséggel lépésfunkciók halmazaként, és nagyon lassan konvergál. Bizonyos problémák (plaszticitás) esetén ezek az elemek ténylegesen rögzülnek és helyesen vannak kijelentve, hogy a konvergencia viselkedés furcsa. a bilineáris elemek azonban kifejezetten lineárisan változó törzsmezőt reprezentálhatnak akár x-ben, akár y-ben, és az elemek azonnal konvergálnak egy elemre.

Most nézzük meg a magasabb rendű elmozdulási mezőket, mondjuk egy köbös elmozdulási mezőt, amely kvadratikus deformációs mezőket eredményez (hajlítás végterhelés alatt). A bilineáris háromszög illeszkedik az elmozdulási mezőhöz egy kvadratikus mezők sorozatával, és a konvergencia viszonylag gyors. Bölcs módon, a törzsmező-variáció szimmetrikusan ábrázolható az elem mentén, és a törzsmező jól viselkedik. Nézzük meg a quad elemeket. Ők szintén leképezik az elmozdulási mezőt kvadratikus elmozdulási mezők halmazaként, és meglehetősen gyorsan konvergálnak. Vannak azonban másodrendű törzskomponensek, és ezek gerjeszthetik a másodrendű kifejezéseket az alakfüggvények származékában. És amint az elmozdulási mező egyre szélesebbé és összetettebbé válik, ezek a magasabb rendű törzsmezők egyre izgatottabbá válnak. Az eredmény oszcilláló törzsekkel (és így feszültségekkel) járhat, lásd alább.

vett:

Szerkezeti elemzés a véges elem módszerével. Lineáris statika

Erről többet tárgyalnak:

A nyolc csomópontú serendipity sík feszültség elemének simítása a legkisebb négyzetekben

és

Végleges elem eljárások

és

Szerkezeti elemzés a véges elem módszerével. Lineáris statika

Az elem fölött simító legkisebb négyzetek (ebben az esetben egyenes vonal) nagyon hatékony megoldás erre a kihívásra.

Hatás:

1) a négyszögek / téglalapok gyorsabban konvergálnak, mint a háromszögek / tetraéderek

2) a bilineáris elemek sokkal gyorsabban konvergálnak, mint a lineáris elemek

3) a bilineáris (vagy langrangi vagy ...) négyszögek / téglalapok érzékenyek a parazita stressz rezgéseire

4) a deformációs / feszültségmezők legkisebb négyzet alakú illesztése az elemre nagyon hatékonyan csökkenti ezt a rezgést


Válasz 2:

A FEA-ban történő diszkretizálás után az összes elemhez egy funkciót (polinomot) rendelnek, amelyet az elem viselkedésének ábrázolására használnak. Ehhez a polinomiális egyenletek részesülnek előnyben, mivel könnyen megkülönböztethetők és integrálhatók. Az elem sorrendje megegyezik az elem ábrázolásához használt polinomi egyenlet sorrendjével.

A Lineáris elemnek vagy az Első rendű elemnek csak a sarkaiban lesz csomópontja. Ez olyasmi, mint az Edge központú köbös szerkezet.

Ugyanakkor a második rendű vagy a kvadratikus elemnek a sarokban lévő csomópontokon kívül középső oldalú csomópontok is vannak (él + test + arcközpontú köbös szerkezet).

A fenti ábra egy lineáris eleménél egyértelműen két csomópont van élönként, és ezért csak egy lineáris egyenletre van szükség az elem viselkedésének jelöléséhez.

Ugyanakkor egy kvadratikus elemnek kvadratikus egyenletre van szüksége a viselkedésének leírására, mivel három csomópontja van.

Azoknál az elemeknél, amelyekben görbület szeretne megragadni, a magasabb rendű polinomok részesülnek előnyben. Az elsőrendű elemek nem képesek elfogni a görbületet.

Az elem sorrendjének semmi köze sincs a geometriahoz. Az alábbi ábra szerint ugyanabban a háromszögben az első és a második diszkretizálás elvégezhető, de a második rendnek nagy esélye van a görbület rögzítésére.

A komplex görbék pontos rögzítéséhez nagyon magas rendű polinomokra van szükség, de ezek a megnövekedett számítási idő költségén származnak. Ezért jobb, ha kompromisszum van a pontosság és a számítási idő között.

Most beszéljünk az első és a második rendű elemek közötti csomópontok számáról. A csomópontok számát Pascal háromszöge adja meg.

A következők a háromszögekre vonatkoznak. A 0. sorrendben a kifejezések száma 1, azaz a csomópontok számának 1-nek kell lennie.

Lineáris (elsőrendű polinom) esetén a kifejezések száma 3, azaz a csomópontok számának 3-nak kell lennie.

Egy másodrendű (második rendű polinom) esetén a kifejezések száma 6, azaz a csomópontok száma = 6.

Most négyzetek esetén a négyzetet két háromszög összeadásánál kell figyelembe vennünk. A 0. sorrend, a lineáris és a kvadratikus eredmények a következők:


Válasz 3:

Az elsőrendű elemek általában a vonalak kombinációjából állnak (a FOE felépítését tehát lineáris deferenciaegyenletek vagy elsőrendű deferenciális egyenletek szabályozzák), azaz háromszög, tat elem. A legpontosabbak a geometriailag elfoglalt alakzatokkal, például a tökéletes négyzet, téglalap stb. Kezelésekor. A kívánt területen kevesebb csomópont van.

A második sorrendű elemek görbékből és görbületvonalakból állnak (az SOE felépítését tehát másodrendű deferenciális egyenletek szabályozzák) hajlamosak nagyobb pontosságot mutatni a geometriailag előfeszített, valamint a nagyon bonyolult vagy bonyolult geometriai elemekre, miközben végrehajtják FEA


Válasz 4:

a polinom függvény leírja az elemet, valójában az elsőrendű elemeknek van egy olyan funkciója, mint: P (x) = a * x + b

és a második rendű elemeknél a függvény valami hasonló: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

a fenti képen az elemek első sora elsőrendű, míg a 2. sorrendű elemek a 2. sorban vannak.

PS: Láthatja a 2. rendű elemek parabolikus formáját, az az, amit az 1. rendű elemek nem adhatnak neked.